Le visionnaire Léonard de Vinci, est peut-être le seul humain à avoir remarqué qu’un arbre pousse presque toujours de telle sorte que l’épaisseur totale des branches à une hauteur donnée est égale à l’épaisseur de son tronc. Jusqu’à maintenant, personne n’a été capable d’expliquer pourquoi les arbres obéissent à cette règle.

La règle de Léonard de Vinci est vrai, pour presque toutes les espèces d’arbres et les artistes graphiques l’utilisent systématiquement pour créer des arbres réalistes générés par ordinateur. Selon cette règle lorsque le tronc d’un arbre se divise en deux branches, la section totale de ces branches secondaires sera égale à la section transversale du tronc. Si ces deux branches se divisent à leur tour en deux branches, la zone des sections des quatre branches supplémentaires sera égale à la superficie de la section transversale du tronc. Et ainsi de suite.

Exprimée de façon mathématique, la règle de Léonard de Vinci affirme que si une branche d’un diamètre (D) se divise en un nombre arbitraire (n) de branches secondaires de diamètres (D1, D2, etc), la somme des diamètres des branches secondaires au carré est égale au carré du diamètre de la branche d’origine. Ou, sous la forme de formule : D2 = Σdi2, où i = 1, 2, … n. Pour des vrai arbres, l’exposant dans l’équation qui décrit l’hypothèse de Léonard de Vinci n’est pas toujours égal à 2, mais varie plutôt entre 1,8 et 2,3 selon la géométrie des espèces spécifiques de l’arbre. Mais l’équation générale est encore assez proche et vaut pour presque tous les arbres.

Les botanistes ont émis l’hypothèse que l’observation de Léonard de Vinci aurait quelque chose à voir avec la façon dont l’arbre pompe l’eau à partir de ses racines jusqu’aux feuilles. L’idée étant que l’arbre a besoin du même diamètre total de veine de haut en bas pour bien irriguer les feuilles.

Mais cela ne correspondait pas à la réalité pour Christophe Eloy, un physicien à l’Université de Californie, San Diego, qui est également affilié à l’université de Provence en France. Spécialiste en mécanique des fluides, il a déterminé que l’équation avait quelque chose à voir avec les feuilles de l’arbre et la force du vent capturés par celles-ci.

Eloy a effectué quelques calculs perspicaces pour trouver le lien avec la force du vent. Il a modélisé un arbre comme des poutres assemblées en porte-à-faux (cantilever) pour former un réseau de fractal. Une poutre cantilever est ancrée à une seule extrémité, une fractale est une forme qui peut être divisée en plusieurs parties de plus en plus petites, bien que parfois cela ne soit pas exactement la copie de la plus large structure. Pour le modèle d’Eloy, cela signifiait que chaque fois qu’une grande branche se divisait en plus petites branches, elles se divisaient en autant de branches, aux mêmes angles et orientations. La plupart des arbres naturels poussent de façon assez fractale.

Un exemple d’arbre en fractal :

Un autre exemple de fractale animée (humm..) :

Parce que les feuilles sur une branche d’arbre poussent toutes à la même extrémité de la branche, Eloy a modélisé la force du vent soufflant sur les feuilles de l’arbre comme une force de pression sur la fin sans ancrage d’une poutre en porte à faux. Lorsqu’il a inséré cette équation de force du vent dans son modèle, en supposant que la probabilité d’une branche qui casse à cause du stress causé par le vent est constante, il a ressorti la règle de Léonard de Vinci. Il l’a ensuite testé avec une simulation numérique par ordinateur qui traite le problème en empruntant une autre direction, en calculant les forces sur les branches, puis en utilisant ces forces pour comprendre qu’elle doit être l’épaisseur des branches, pour qu’elles puissent résister à la rupture (voir illustration d’entête). La simulation numérique a prédit avec précision les diamètres des branches et la gamme de 1,8 à 2,3 selon l’exposant de Léonard de Vinci.

En architecture, la Tour Eiffel en est peut-être l’exemple le plus connu. Les résultats de cette recherche pourraient avoir un impact sur notre compréhension des dégâts considérables provoqués par le vent.

Christophe Eloy révèle tout cela dans un document qui sera bientôt publié dans la Physical Review Letters et consultable au format PDF ici : Leonardo’s rule, self-similarity and wind-induced stresses in trees.

 

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